------------------------------------------------------------------------------------------------- PROBABILIDAD
1.1 Se arroja al aire un dado 3 veces
a) cual es la probabilidad de que salgan todos ases
La probabilidad de tirar un dado y que salga as es 1/6
La probabilidad de que salga las tres veces
1/6 . 1/6 . 1/6 = 1/216
b) la probabilidad de que salga exactamente un as
si la probabilidad de que salga as es 1/6 la probabilidad de que no salga es
1 – 1/6 = 5/6
si cada tiro de dado es un casillero, tengo estas tres opciones
AS NOAS NOAS 1/6.5/6.5/6 = 25/216
NOAS AS NOAS 5/6.1/6.5/6 = 25/216
NOAS NOAS AS 5/6.5/6.1/6 = 25/216
La probabilidad es la suma de las 3 p=75/216
c) que probabilidad hay de que salga al menos un as? “al menos un as” significa que puedo tener uno, dos o tres ases en los tres tiros Y eso es igual a decir que la única probabilidad que dejo afuera es la de que no salga ningún as en los tres tiros
NOAS NOAS NOAS 5/6.5/6.5/6 = 125/216
Al menos un as = 1 -125/216= 91/216
------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.2 Una prueba consta de cinco preguntas de verdadero falso.
Contestando al azar, calcular la probabilidad de:
a) acertar las cinco
La probabilidad de acertar P(A) es igual a la de no acertar P(NA)
P(A)= P(NA)=1/2
Como son las unicas dos opciones, la suma tiene que dar uno
P(A) + P(NA)=1
La probabilidad de acertar las cinco
½.½.½.½.½=1/32
b) acertar exactamente una
Hay cinco combinaciones para esta posibilidad
P(A) P(NA) P(NA) P(NA) P(NA) = ½.½.½.½.½=1/32
P(NA) P(A) P(NA) P(NA) P(NA) = ½.½.½.½.½=1/32
P(NA) P(NA) P(A) P(NA) P(NA) = ½.½.½.½.½=1/32
P(NA) P(NA) P(NA) P(A) P(NA) = ½.½.½.½.½=1/32
P(NA) P(NA) P(NA) P(NA) P(A) = ½.½.½.½.½=1/32
Sumandolas P=5/32
c) acertar al menos una
Igual que el problema anterior, lo puedo calcular como todas las probabilidades menos, la de que no acierte ni una.
No acertar ni una
P(NA) P(NA) P(NA) P(NA) P(NA) = ½.½.½.½.½=1/32
Acertar al menos una
P=1 -1/32 = 31/32
------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.3 Se extraen al azar y sin reposición 2 naipes de una baraja española de 40.
Calcular la probabilidad de que sean
a) ambas de oro
La probabilidad de que la primera sea de oro
P(1oro)=10/40
Al sacar la segunda carta quedan 9 oros y 39 cartas
P(2oro)=9/39
Probabilidad ambas de oro = 10/40.9/39 = 90/1560 = 3/52
b) una de oros y la otra de espadas
La primera puede ser de oro o de espada
P=20/40
La segunda tiene que ser del palo que no salio y quedan 39 cartas
P=10/39
Probabilidad una de oros y la otra de espadas P=20/40.10/39 = 5/39
c) En una prueba de natación hay tres nadadores A,B y C .
Si A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la que tiene C.
Que probabilidad hay de que gane B o C.
Se considera que no hay empates, entonces la suma de las probailidades de cada ganador debe ser igual a 1, que es la probabilidad total
P(A) + P(B) + P(C) = 1
Como P(A) = P(B) y P(A) = 2.P(C)
Reemplazo P(A) + P(A) + P(A)/2 =1
5P(A)/2 = 1
P(A) = 2/5
Como la probabilidad de que gane B o C es la probabilidad de que no gane A
P(B o C) = 1 - P(A) = 3/5
------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.5 Un club tiene 80 socios. 35 juegan dados, 27 juegan naipes y 12 juegan naipes y dados. Los restantes no juegan a nada.
Si elegimos un socio al azar
a) cual es la probabilidad de que no juegue a nada
P(NDNN)=1 – {35/80 + 27/80 – 12/80} = 30/80 = 3/8
b) si el socio no juega dados . que probabilidad hay de que tampoco juegue naipes ?
los que no juegan dados son 1-35/80 = 55/80
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1.7 ) Un equipo electrónico tiene dos circuitos A y B.
La probabilidad de que A falle es del 20%
P(NA)=0,2
la probabilidad de que falle solamente B es 0,15
P(NB)- {P(NA) P(NB)}=0,15
la probabilidad de que fallen los dos a la vez es de 0,15
P(NA) P(NB)=0,15
Calcular la probabilidad de que
a) A falle sabiendo que B fallo
b) Falle solamente A
Para este tipo de ejercicios ayuda mucho hacer un grafik
Primero calculamos la probabilidad de que falle B, y como
P(NB)- {P(NA) P(NB)}=0,15
P(NB) =0,15 + {P(NA) P(NB)}
P(NB) =0,15 + 0,15 = 0,30
a) es una condicional así que usando Bayes,
P(NA/NB)= = = 0,50
b) probabilidad de que falle solamente A
es la probabilidad de que falle A menos , la probabilidad de que A y B fallen juntos
P(NA-(NA NB))= P(NA)- {P(NA) P(NB)}= 0,20 - 0,15 = 0,05
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1.8 Juegan Boca y River. Niembrah dice que…
la probabilidad de que Boca no pierda es el triple de la probabilidad de que pierda
P(BG) + P(BE) = 3.P(BP) (ec1)
que la probabilidad de que gane es el cuadruplo de la probabilidad de que empaten
P(BG) = 4P(BE) (ec2)
Cual es la probabilidad de que Boca gane empate o pierda ,,ehhh?????
este problema lo podemos plantear como un sistema de ecuaciones lineales de 3 incognitas
la ecuación que falta es que la suma de todos los eventos posibles es uno
P(BG) + P(BE) + P(BP) = 1 (ec3)
Uniendo (ec1) y (ec3)
3.P(BP) + P(BP) = 1
4P(BP) = 1
P(BP) = 0,25
Reemplazando en (ec3)
P(BG) + P(BE) + 0,25 = 1
P(BG) + P(BE) = 0,75
Juntando con (ec2)
4P(BE) + P(BE) = 0,75
5P(BE) = 0,75
P(BE) = 0,15
Volviendo a (ec2)
P(BG) = 4.0.15
P(BG) = 0,60
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1.11 Un avión trimotor puede volar solamente con el motor central o con los dos motores laterales.
La probabilidad de que falle el motor central es P1
La probabilidad de fallar cada uno de los motores laterales es P2
Cual es la probabilidad de que el avión no pueda volar? P4
Considerar que cada motor es independiente.
Llamo P3 a la probabilidad de que los dos motores laterales no funcionen o cualquiera de ellos no funcione,
P3 = 1 – (1 – P2)2
P4 = P1.P3 = P1.{ 1 – (1 – P2)2}= 2P1.P2 – P1.P22
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1.12 En una escuela de idiomas
el 35% no aprobó el examen de inglés P(NI)
el 30% no aprobó el examen de alemán P(NA)
el 40% no logro aprobar alguno de esos exámenes {P(NI) U P(NA)}
tomando un alumno al azar
a) calcular la probabilidad de que le haya ido bien en los dos examens P(IA)
{P(NI) U P(NA)} + P(IA) = 1
P(IA) = 1 – 0,4 = 0,6
b) que probabilidad hay de que habiendo aprobado el examen de ingles tambien haya aprobado el de alemán
es una condicional usando Bayes, baby…
P(A/I) = = = 12/13
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1.13 La probabilidad de que llueva en un día sin nombre es de 0,25
P(LL) = 0,25
Cuando el pronóstico anuncia lluvia acierta el 60% de las veces
PRLL/LL = 0,60
Cuando el pronóstico anuncia sol acierta el 80% de las veces
PRSOL/SOL = 0,80
Cual es la probabilidad de que el pronostico se correcto un dia cualquiera
P(PC)
P(PC) = P(LL).PRLL/LL + P(NLL). PRSOL/SOL
P(PC) = 0.25.0.60 + 0.75.0.80 = 0.75
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1.14 En una central telefónica
El 45% de las llamadas la exterior se hacen después de las 22hs, de estas el 80% dura mas de 3minutos
Por la mañana se hacen el 35% de las llamadas de las cuales el 60% dura mas de 3minutos
De las llamadas que se hacen a la tarde el 15% dura mas de 3minutos
Cual es la probabilidad de que una llamada dure mas de 3minutos
P(LL>3M) = 45%.80% + 35%60% + 20%.15% = 60%
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1.15 Hay dos urnas
Urna uno: 3 monedas de oro y 7 de plata P(o1) = 3/10
Urna dos: 4 monedas de oro y 6 de plata P(o2) = 4/10
Además se tira un dado al aire . Si sale AS o 6, se saca una moneda de la urna uno , de no ser asi se saca una moneda de la urna dos.
a) cual es la probabilidad de sacar una moneda de oro P(o) , ehhhhh ?
es la probabilidad de meter mano en urna uno por P(o1) mas la probabilidad de meter mano en urna dos por P(o2)
P(o) = 2/6 . 3/10 + 4/6 . 4/10 = 22/60 = 11/30
b) si la moneda extraida es de oro calcular la probabilite de que sea de la urna uno,,,,
P(o1/o) = P(o1)/ P(o) = (2/6 . 3/10) / 22/60 = 6/22 = 3/11
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1.15 En una fabrica de baterías para celulares las maquinas A1, A2 y A3 hacen el 45%, 35% y 20% del total de la producción. Generando baterías defectuosas que se comercializan igual en un 4%, 2% y 1%.
Cuando comprás una batería de esa fabrica cual es la probabilidad de que este fallada P(F)
Es muy similar al anterior
P(F) = 45%.4% + 35%.2% + 20%.1% = 0.027
Si esta fallada cual es la probabilidad de que la haya fabricado A1 o A2
P(F A1 U A2 / F) = (45%.4% + 35%.2%) / 2,7% = 25/27
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1.17 Tenemos dos valijas idénticas
Valija uno 3 zapatillas amarillas 5 zapatillas violeta
Valija dos 2 zapatillas amarillas 3 zapatillas violeta
Se elije al azar una zapa de cada vali
Cual es la probabilidad de armar un par amarillo P(PA)
P(PA) = 3/8 . 2/5 = 6/40
el libro tira otro valor 31/27 obviamente pero esta mal nunca una probabilidad es mayor que 1
cual es la probabilidad de armar un par del mismo color
es la probabilidad de sacar dos amarillas as la probabilidad de sacar dos violetas no ??
3/8 . 2/5 + 5/8 . 3/5 = 21/40
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1.18 Tres manes A B y C tiran al blanco.
Las probabilidades de acertar son 1/6 , ¼ y 1/3 respectivamente
Si cada un de ellos dispara una vez calcular la probabilidad de que acierte exactamente uno de ellos
Esto es la probabilidad de que A acierte B y C erren , mas las otras combinaciones,,, B acierta , A y C erran ; C acierta A y B erran
1/6 . ¾ . 2/3 + 5/6 . ¼ . 2/3 + 5/6 . ¾ . 1/3 = 31/72
Si o solo acierta cal es la probabilidad de q sea A
Esla probabilidad de qe acierte solo A sobre la proba de qe acierte soléate o
(1/6 . ¾ . 2/3) / 31/72 = 6/31
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