RESUELTOS NOTTOLI 2008 VECTORES

MATEMATICA II // ARQUITECTURA
UBA // CATEDRA NOTTOLI

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA 2008
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VECTORES
Nota: en todos los ejercicios se reemplaza el símbolo de la raíz cuadrada por la potencia 1/2

1.1 Distancia entre dos puntos en 3D

Calcular la distancia entre los puntos A= (5;1;4) y B= (2;-3;4)

Solución: es el mismo procedimiento que en 2D (x;y) pero agregando una variable (x;y;z)

Dist= │AB│= {(5-2) 2 + (1-(-3)) 2 + (4-4) 2}1/2
Dist= │AB│= {(3) 2 + (4) 2 + (0) 2}1/2
Dist= │AB│= {9+16}1/2
Dist= │AB│= {25}1/2
Dist= │AB│= 5


VECTORES EN 3D

2.1 Dados los vectores U=( -1;2;1) V=( 0;-1;2) W=( -3;2;0) analizar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones

a) U+V-W = 2i – j +k /// falso

U+V-W = (Xu+Xv-Xw)i ; (Yu+Yv-Yw)j ; (Zu+Zv-Zw)k
U+V-W = ((-1+0-(-3))i ; (2+(-1)-2)j ; (1+2-0)k
U+V-W = 2i -j +3k
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b) 2V+W-3U=(0;-6;1) /// verdadero
la constante que multiplica al vector, (en este caso el 2) se distribuye y multiplica a cada componente del vector

2V+W-3U = 2.(0;-1;2) + ( -3;2;0) – 3.(-1;2;1)
2V+W-3U = (0;-2;4) + ( -3;2;0) – (-3;6;3)
2V+W-3U= (0-3+3)i + (-2+2-6)j + (4+0-3)k
2V+W-3U= 0i - 6j + 1k = -6j +k
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c) │U+V-W│ = 141/2 /// verdadero

La cuenta del vector resultante estaba hecha en el ejercicio A)

│U+V-W│ = │2i -j +3k│ = {2 2 +(-1) 2 + 3 2 }1/2
│U+V-W│ = {4 +1 + 9}1/2 = 141/2

Moraleja: El módulo de la suma de vectores
No es igual a la suma de sus módulos
│U+V-W│ ≠ │U│+│V│ -│W│
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d) U.V = (0;-2;2) /// falso

el producto escalar entre dos vectores es un numero, no es otro vector
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e) 2(U+V+W)= -8i+6j+6k /// verdadero

primero se resuelve el paréntesis y después se distribuye el 2

2(U+V+W) = 2.{ (-1;2;1) + (0;-1;2) + ( -3;2;0) }
2(U+V+W) = 2.{ ((-1)+0+(-3))i + (2+(-1)+2)j + (1+2+0)k }
2(U+V+W) = 2.{ -4i + 3j + 3k }
2(U+V+W) = -8i + 6j + 6k }
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f) (U+V).W=5

primero se resuelve el paréntesis , desp se hace el producto vectorial

(V+U+W) = 2.{ (0+(-1)+(-3))i + ((-1)+2+2)j + (2+1+0)k }
(U+V).W = { (-1;2;1) + (0;-1;2)} . ( -3;2;0)
(U+V).W = { (-1+0)i + (2+(-1)j + (1+2)k} . ( -3;2;0)
(U+V).W = (-1i + 1j + 3k) . (-3i+2j+0k)
(U+V).W = (-1.-3) + (1.2) + (3.0) = 5
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g) │U│.│V│ = ( -1;2;1) . ( 0;-1;2) /// falso

el producto del módulo de dos vectores, no es igual a su producto vectorial
primero se sacan los módulos desp. se multipican

│U│.│V│ = {(-1) 2 + (2) 2 + (1) 2 }1/2. {(0) 2 + (-1) 2 + (2) 2 }1/2
│U│.│V│ = {6}1/2. {5}1/2 =301/2
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h) (U-V).(V-U) = -11 /// verdadero

como (V-U) = - (U-V)

(U-V).(V-U) = (U-V).-(U-V)
(U-V).(V-U) = - (U-V) 2
(U-V).(V-U) = - { (-1;2;1) - (0;-1;2)} 2
(U-V).(V-U) = - { (-1-0)i + (2-(-1)j + (1-2)k}2
(U-V).(V-U) = - { -1i + 3j -1k}2
(U-V).(V-U) = - {(-1) 2 + (3) 2 + (-1) 2 } = -11
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i) (U+V).(U-V) = 1 /// verdadero

primero se resuelven los paréntesis y desp se hace el producto vectorial

(U+V).(U-V) = (-1i +1j +3k). (-1i +3j -1k)
(U+V).(U-V) = (-1.-1) + (1.3) + (3.-1) = 1
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j) 0.(U+V+W) = 0 /// falsa

el producto de una constante por un vector es otro vector
resp. correcta (0;0;0)
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Ecuación de la recta en 3D – Ecuación del plano
Posiciones relativas e intersecciones

3.1 Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P=(-3;0;2) y es paralela al vector V=2i –j +3k
Calcular el ángulo que forma la recta con cada uno de los ejes coordenados

En forma paramétrica

X= 2t – 3
Y = -t
Z = 3t + 2

En forma canónica
X+3 = -Y = Z – 2
2 3
En forma vectorial
(x;y;z) = (-3;0;2) + t(2;-1;3)

Para saber que angulo forma la recta con cada eje

Se puede deducir de la formula del producto vectorial
U.V = │U│.│V│.cos α

Si V es un vector coincidente con el eje coordenado X
Por ej V = (5;0;0)

U.V = │U│.│V│.cos α
(2;-1;3). (5;0;0) = 141/2.5. cos α

2.5 = cos α
141/2.5

El 5 se cancela y queda la formula reducida
2/141/2 = cos α
α =57º 41

-1/141/2 = cos β
β = 105º 30 5

3/141/2 = cos λ
λ = 36º 41 57
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