CURVAS CONICAS RESUELTOS NOTTOLI 2008

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CONICAS
PARABOLA

4.1.3 Un cañón arroja un proyectil (en el vacío) formando un ángulo α con la horizontal y el mismo describe un arco de parábola como se indica en la figura.
Si cae al piso a 16m del punto desde donde fue lanzado y alcanza una altura máxima de 12m. Cuál es el valor del parámetro p ?
Cuando tienen eje de simetría vertical, las parábolas están definidas por la ecuación

(X-h)2 = 2p.(Y-k)

Si el eje de simetría lo hacemos coincidir con el eje Y, el vértice de la parábola queda en el punto (0;12) , entonces h=0 y k=12

Como dato hay dos puntos, usando (8;0) y reemplazando..

(8)2 = 2p.(0-12)
-64/24 =p
p = -8/3

En el libro figura -4/3 ; ese es el valor de p/2 ,, que es lo que hay que sumar y restar al valor de k para hallar las coordenadas del foco y la recta directriz

Foco (0;32/3) Recta directriz Y= 42/3
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4.2.1 Un puente en suspensión tiene sus cables 50m por encima del pavimento en las torres del puente y 10m por encima del mismo al centro del puente. El pavimento sobre el puente tiene una longitud de 200m. A lo largo del puente se encuentran espaciados cables verticales cada 20m. Calcula la longitud de dichos cables verticales.

Haciendo coincidir el eje de simetría vertical del puente con el eje Y, el vértice de la parábola queda ubicado en el punto (0;10) por lo tanto h=0 , k=10

Por ser una parábola vertical se usa la fórmula

(X-h)2 = 2p.(Y-k)

El punto (100;50) que es uno de los extremos del puente, se reemplaza en la ecuación

(100)2 = 2p.(50-10)
p= 125
ahora con la ecuación completa se despeja Y

(X)2 = 2.125.(Y-10)
Y=(X2/250) +10

Los valores de x son 0;20;40;60;80;100
Reemplazando en la ecuación los valores de Y son
10;11.6;16.4;24.4;35.6;50
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CONICAS
CIRCUNFERENCIA

4.2.2 Hallar la ecuación de una circunferencia sabiendo que su centro está en C=(-2;3) y que además pasa por el punto P=(1;-5)

La ecuación de una circunferencia es
(X-h) 2 +(Y-k) 2 = r2
Para completar la ecuación el único dato que falta es el radio
Se carga el punto y el vértice

(1-(-2))2 +(-5-3) 2 = r2
73=r2
La ecuación queda
(X+2) 2 +(Y-3) 2 = 73
Resolviendo los cuadrados
X2 +Y2 +4x -6y -60 = 0
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4.2.3 Hallar las coordenadas de los puntos de intersección entre la circunferencia de ecuación X2 +Y2 -6X -10Y +9 = 0 y los ejes coordenados

Primero hay que reconstruir la formula original
(X-h) 2 +(Y-k) 2 = r2
X2 -6X = (X -3)2 -9
Y2 -10Y =(Y -5)2 -25
Entonces
(X -3)2 -9 + (Y -5)2 -25 +9 = 0
(X -3)2 + (Y -5)2 = 25

Para hallar la intersección con el eje Y, calculamos con X=0
(-3)2 + (Y -5)2 = 25
(Y -5) = 161/2
Y= ±4 +5
Y= 9;1 los puntos de intersección con el eje Y son (0;1) y (0;9)

Para hallar la intersección con el eje X , calculamos con Y=0
(X-3)2 + (-5)2 = 25
(X-3)2 = 0
X = 3
Que tenga una sola respuesta significa que no corta al eje, sino que lo toca en un solo punto (3;0) por eso es que el eje Y, es tangente a la circunferencia en ese punto.
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